▲ 차례로 처음 1강=수학이란 무엇인가=2강의 역사를 바꾼 3개의 수학적 발견=3강 확률론의 선과 악, 4강의 답이 아니라도 좋다=5강의 답이 있을 때, 찾을 수 있을지는 6강. 우주의 실체, 모양과 위상과 계산 7강을 마치고 특별 강의 수 없이 수학을 이해하고 처음 수학은 발전했다.지금 우리에게 다소 어려운 문제도 언젠가는 일반 사람들의 상식이다.오늘 인간의 지능과 상상력에 어떤 차이가 있다면, 그것은 수학적 이해력의 차이 때문이다.반대로 어떤 새로운 사고가 상식이 되는 과정도 수학적인 이해력을 바탕으로 가능할 것이다.그럼 수학적 이해력이란 무엇인가?1계. 수학은 뭔가 보통 많은 사람이 수학은 문제가 주어지면 풀것이라고 생각한다.그러나 이는 다른 과목도 마찬가지다.영국의 수학자로 논리학자 버트런드·러셀은 수학은 논리라고 말했다.그러나 실제가 있을 때 논리를 전개할 수 있지만 논리가 있다고 해서 실제를 만들어 낼 수 없다.또 수학만 논리를 사용하지 않는다.아니면 논리에서 엄밀함의 차이가 수학을 구분하지 않을까 생각된다.어느 정도 옳다고 할 수도 있지만 수학의 확실성에 대한 집착으로 수학 논리가 무조건 옳게 사고라고 주장하는 것은 옳지 않다.”수학적”이란”수”를 이용한 사고와 과정인간다고 생각할 수 있다.수학적 사고란 구체적인 예를 통해서 전체적인 틀이 형성되어 가는 것으로, 수학적 방법론을 통해서 수학 자체를 떠나는 수많은 학문 분야에 확산될 수 있다.그럼 수학과 과학의 차이는 뭔가.현대적 의미에서의 과학에 수학이 가장 오래된.17세기 초, 갈릴레오는 “우리가 우주를 이해하려면 우주에 관하여 쓰고 있는 언어를 배우는 익숙해져야 하지만 그 언어는 수학적인 언어다”며 우주를 이해하는 것 자체가 수학적 방법론만으로 가능하다고 생각했다.한편 수학은 인문학이라고도 한다.”구조 주의”를 주장한 레비=스트로스는 인간이 사는 여러 사회를 분류하고 각각 다른 사회임에도 불구하고 구조적 유사성을 모색했다.또 다른 구조 주의자 장·피아제는 구조가 무엇인지 구조적으로 같다는 점을 설명하기 위해서는 수학적 구조, 여러 체계 군론 등에 대한 이해가 필요하다고 말했다.결국 수학과 추상적 개념적 도구를 써서 세상을 체계적으로 다시 정밀하게 설명하려는 의도다.2계. 역사를 바꾼 3개의 수학적 발견 역사를 바꾼 수학적 발견은 다양한 방식으로 해석할 수 있지만, 여기에서는 비교적 최근의 사건 중에서 고르다.1.”페르마의 원리”-빛은 시간을 최소화하는 경로로 진행한다.17세기 과학 혁명에서 과학의 수학화에 도움이 되는 원리로서,”최적의 경로”최적화, 최소화 문제에 대해서 생각했다.2. 아이작·뉴우튼의 “자연 철학의 수학적 원리(Philosophiae Naturalis Principia Mathematics)”은 “푸딩 시 피아”으로 알려졌다.뉴턴의 제2법칙F=ma에서 가속도는 속도가 바뀌는 양으로 속도의 미분은 가속으로 미분의 발달에 영향을 미쳤다.뉴턴의 제3법칙 작용 반작용의 원리를 통한 만유 인력의 법칙은 행성의 운동을 설명했던 케플러의 3대 법칙에 영향을 미쳤다.그럼 달과 지구 사이의 인력은 어떻게 계산할 수 있을까.지구나 달의 각 표면에 매우 연속적으로 분포한 점과 점들이 사방에서 잡아당기다 이 모든 중력을 가하면 좋지만 이때 연속적을 가하기로 “적분”의 개념이 필요하면 이를 결론의 달의 중심에서 지구 중심까지의 거리를 재면 된다는 결론에 이른다.한편 왜 지구와 달은 서로 끌어당기는 것?어떻게 힘을 느끼는가?무엇을 통해서 힘을 느끼는가?질문을 만들어 낼 수 있다.참고)케플러의 3법칙 1)타원 궤도의 법칙:모든 행성은 태양을 쟁점으로 타원 궤도를 그리며 공전한다(타원은 중력이 거리의 역 제곱에 비례한다는 만유 인력의 법칙에 영향을 미쳤다.)2)면적의 법칙:행성과 태양을 잇는 선은 같은 시간에 같은 면적을 휩쓸고 지나가서, 태양에 가까울수록 늦게 멀수록 천천히 움직인다.(이것은 운동량 보존의 법칙의 영향을 받았다.)
3)행성의 공전 주기의 제곱은 태양과 행성의 거리의 세제곱 수에 비례한다.참고)태양계 내부에 존재하는 행성과 혜성은 대부분 태양을 쟁점으로 타원 궤도를 따라서 움직인다.한편 태양계 바깥에서 접근하는 혜성은 태양을 쟁점으로 포물선이나 드물게 쌍곡선 궤도를 따라서 움직인다.예를 들어 핼리 혜성은 76년에 한번씩 돌아온다는.타원인지 포물선(쌍곡선)인지 궤도 형태로 다시 돌아오거나 영원히 멀어지기도 한다.궤도의 형태는 이심률에 의해서 결정된다.이심률은 2차 곡선이 갖는 상수의 하나로 1을 기준으로 곡선의 형태가 바뀐다.이심률이 1보다 작거나 큰지에 의해서 타원, 쌍곡선, 포물선의 형태가 결정된다.3.”데카르트 좌표의 발견”나는 생각한다.그래서 나는 존재한다”라는 유명한 말이 적힌 데카르트의 “방법 서설(Discours de la Methode)”에는 부록이 3개 있다.그 하나인 “기하학”에서 좌표를 말한다.이것은 기하를 대수적으로 표현하고, 전개할 수 있는 기초를 쌓았다.이것은 시간의 함수라는 개념을 통해서 우리는 물체가 어떻게 돌아가는지 위치를 정확히 묘사했다.이는 뉴턴 이론에 영향을 주고 행성의 궤적을 찾는데도 일조했다고 볼 수 있다.뉴턴은 “좌표와 관계 없는 불변량”에 대해서 말했다.일정 속도로 움직이는 좌표계는 자연 현상을 묘사하기에 적절한 것으로 움직이지 않는 좌표는 없다고 가정했다.그러므로 움직임을 상대적이라고 생각하고 대신 속도는 객관적은 아니지만 속도의 변화는 객관적이었다.그러나 아인슈타인의 상대성 이론에서는 시간도 상대적이라고 주장하며 상대성 이론의 역설을 발견했다.(우주 여행에서 돌아오면 지구에서는 수천년이 흐름)수학적으로 본다는 것은 우리가 무엇을 모르는지 정확하게 질문하고 우리가 어떤 종류의 해결점을 원하는지를 파악하고 이에 필요한 정확한 프레임워크와 개념적 도구를 만드는 과정이다.참고)영화”인터 스테라ー”에서는 우주를 배경으로 많은 과학적 지식이 활용된 영화이다.이때”웜홀”과 “블랙 홀”이 나오는데 특히”웜홀”는 이론적으로 존재한다.영화의 내용에서 시간 지연 현상이 생기고, 어느 행성에서 1시간이 지구에서 7년과 마찬가지임을 말했다.비행선이 블랙 홀이 근처에 있다고 강력한 중력의 영향으로 중력에 의해서 시간이 늦어지면서 상대적으로 우주 비행사의 시간보다 지구의 시간이 빨리 흐른다.
3) 행성 공전 주기의 제곱은 태양과 행성 거리의 입방수에 비례한다. 참고) 태양계 내부에 존재하는 행성과 혜성은 대부분 태양을 초점으로 하는 타원 궤도를 따라 움직인다. 반면 태양계 바깥쪽에서 접근하는 혜성은 태양을 초점으로 하는 포물선이나 드물게 쌍곡선 궤도를 따라 움직인다. 예컨대 핼리 혜성은 76년에 한 번씩 돌아온다고 한다. 타원인지 포물선(쌍곡선)인지 궤도 형태에 따라 다시 돌아오기도 하고 영원히 멀어지기도 한다. 궤도의 형태는 이심률에 의해 결정된다. 이심률은 2차 곡선이 갖는 상수 중 하나로, 1을 기준으로 곡선의 형태가 바뀐다. 이심률이 1보다 작거나 크느냐에 따라 타원, 쌍곡선, 포물선의 형태가 결정되는 것이다. 3. 데카르트 좌표 발견 나는 생각한다. 그래서 나는 존재한다는 유명한 말이 적혀 있는 데카르트의 ‘방법서설(Discours de la Methode)’에는 부록이 세 가지 있다. 그 중 하나인 기하학으로 좌표를 말한다. 이는 기하를 대수적으로 표현하고 전개할 수 있는 기초를 마련하였다. 이는 시간의 함수라는 개념을 통해 우리는 물체가 어떻게 움직이는지 위치를 정확히 묘사했다. 이는 뉴턴 이론에 영향을 미쳐 행성의 궤적을 찾는 데도 일조했다고 볼 수 있다. 뉴턴은 좌표와 관계없는 불변량에 대해 말했다. 일정한 속도로 움직이는 좌표계는 자연현상을 묘사하기에 적절하므로 움직이지 않는 좌표는 없다고 가정했다. 따라서 움직임을 상대적이라고 생각하고 대신 속도는 객관적이지 않지만 속도 변화는 객관적이었다. 그러나 아인슈타인의 상대성 이론에서는 시간도 상대적이라고 주장하며 상대성 이론의 역설을 발견했다. (우주여행에서 돌아오면 지구에서는 수천 년이 흘러) 수학적으로 생각한다는 것은 우리가 무엇을 모르고 있는지 정확히 질문하고, 우리가 어떤 종류의 해결점을 원하는지 파악하고, 그에 필요한 정확한 프레임워크와 개념적 도구를 만들어가는 과정이라고 할 수 있다. 참고)영화 ‘인터스텔라’에서는 우주를 배경으로 많은 과학적 지식이 활용된 영화다. 이때 웜홀과 블랙홀이 나오는데 특히 웜홀은 이론적으로 존재한다. 영화 내용에서 시간 지연 현상이 나타나 한 행성에서의 1시간이 지구에서의 7년과 같다는 것을 이야기한다. 비행선이 블랙홀과 가까이 있으면 강력한 중력의 영향으로 중력에 의해 시간이 지연되고 상대적으로 우주인의 시간보다 지구의 시간이 빨리 흐른다.
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2019년 4월 10일 세계 과학 사상 첫”실제의 블랙 홀”관측에 성공했다.이는 상대성 이론과 예측이 정확히 부합한 것이다.3강. 확률론의 선과 나쁜 공리주의는 19세기 중엽 영국에서 나타난 사회 사상이다, 가치 판단의 기준을 효용성과 행복의 증진에 둔다”최대 다수의 최대 행복”실현을 윤리적 행위의 목적으로 봤다.이것은 윤리적 사고를 정량화한다는 것이다.아니면 어떤 도덕적 판단을 요하는 문제에 직면했을 때, 확률의 사용에 대한 의문이 생긴다.의도를 갖고 결정해야 하는지 결과를 생각하고 결정할 것인가?좋은 결과를 낳을 확률에 따르고 선악을 판단하는 것이 과연 의미 있는 것인가.MIT기계 공확과에서 자동 운전 자동차의 개발을 위한 “결정 게임”은 “전기 문제”로 윤리라는 형이상학적 문제를 구조화하는 모델화하고 알고리즘에 만들어 내고 있다.참고)트롤리 딜레마:사람들에게 브레이크가 고장 난 트롤리 상황을 제시하고 다수를 구하기 위해서 소수를 희생할 수 있는지를 판단하는 문제 상황을 가리키는 말이다.
비슷하면서도 다른 두 트롤리 문제 1. 브레이크가 고장난 트롤리 열차가 달리고 있다. 레일 위에서는 5명의 인부가 일하고 있는데 트롤리가 이대로 달리면 5명은 반드시 죽을 것이다. 한 가지 방법은 레일 변환기에서 트롤리의 방향을 바꾸는 것뿐이다. 그런데 다른 레일 위에는 한 명의 인부가 있다. 당신은 트롤리의 방향을 바꿀 건가요?
→ 이 문제는 영국의 윤리 철학자인 피릿파·푸트(Philippa R. Foot)이 제안한 것으로 응답자의 89%가 “방향을 바꿔야 한다”라고 대답했다.2당신은 육교 위에서 트롤리가 달리는 것을 보고 있다.브레이크가 고장 난 트롤리는 5명의 작업원에게 향해서 달리고 있다.무거운 것을 떨어뜨려서 흙을 멈추지 않으면 안 되지만, 육교에는 뚱뚱한 사람이 한명 있을 뿐이다.체중이 적어도 육교에서 떨어져도 흙을 막지 못하고 뚱뚱한 사람을 누르면 확실히 트롤리를 멈출 수 있다.그럼, 뚱뚱한 사람을 육교 아래로 떨어뜨릴 것인가?
→ 이 문제는 미국의 도덕 철학자인 주디스·톰슨(Judith J. Thomson)이 문제 ①에 이어추가 제안한 것이다.이 문제에 대해서 응답자의 78%가 뚱뚱한 사람을 육교 아래로 누르시면 안 된다고 답했다.예를 들면”지능이 매우 큰 여성은 대부분 자신보다 지능이 낮은 남자와 결혼한다.”라는 통계가 있다.그 이유는 무엇일까?우리는 무의식 중에 남녀 문제 등 사회적 편견을 가지고 대답한다.그러나 대답은 확률적으로 대부분의 남자가 지능이 매우 높은 여성보다 지능이 낮을 뿐이다.도덕적으로 틀린 답을 피할 수 있는 사고가 필요하다.우리는 수학적으로 생각하는 것이 오히려 도덕적으로 틀린 답을 피할 수 있다는 것을 알았다.우리는 흔한 윤리적인 것, 인문적인 것은 수학적인 것과는 전혀 다른 경로를 지향하고 있다는 선입견을 갖고 있다.베스트 4. 대답이 없어도 좋다.어떻게 의사 결정을 할지는 수리 경제학의 시작으로서 사회 선택 이론에 영향을 주었다.
순위 선호도 선호도 선호도 선호도 1ABCDEE2DEBC3EDEEDD4CCDBCB5BAAAAA総得票数 181210942
순위 결정 방법 1. 단순 다수 대표제(한국 대통령 선거 등):A(가장 높은 득표 수 18표)2. 보르다 투표:D프랑스 수학자 물히학자, 정치학자 장·사를 보르다가 제시한 방법으로, 1위는 4점, 2위는 3점, 3위는 2점, 4위는 1점 5위는 0점으로 점수를 부여한다.A:72, B:101, C:107, D:136, E:1343. 프랑스 결선제(학급 회장 선출 등):B득표 수가 과반수 이상이면 당선되고 과반수가 아니면 1. 방법의 1,2위 재투표 1위 A 2위 B->A:18, B:374. 차례차례 결선제:C각 투표에서 꼴찌를 제거하고 다시 실행하는 꼴찌를 제거하는 방법으로 마지막 한명이 꼽힌다.1 Round:E제거A:18, B:16, C:12, D:92 Round:D제거A:18, B:16, C:213 Round:B제거 A:18, C:335. 페어 비교, 페어 비교:E프랑스의 정치 학자 이마 무상 의무 교육을 주장한 니코·디·콩도르세는 두명씩 비교하는 방법을 제안했다.총 10번의 계산을 하면 된다.A<B, A<C, A<D, A<EB.C, B.D, B<EC<D, C<ED<E그러므로A<B.C<D<E이다, 이때 E을 니콜라 드 콩도르세 후보라는, 콩도르세 후보가 있으면 그가 이겨야 한다.그러나 이 방법은 다음과 같은 예에서 니콜라 드 콩도르세 후보가 나오지 않을 수도 있다.
순위 호감도 선호도 선호도 선호도 선호도 1ABBCDE2DAABAC3CCDAAED4BDEDBCB5EEBA 총득표수 2641144
5-1. 계산 콩도르세의 방법1:1대결에서 승점 부여 방식에서 승리:1점 동점:0.5점, 패배:0점 점수를 부여하면 A:3점, B:2.5점, C:2점, D:1.5점, E:1점으로 A가 선출된다.그러나 이 방법은 후보가 사퇴한 경우에 문제가 생기는데 만약 C가 사퇴한다고 가정한다.A:2점, B:2.5점, D:1.5점, E:0점으로 B가 선출된다.그 이유는 승점으로 따지면 한 집단이 하나의 개인으로 취급되어 나타난다.사회 선택 이론은 3가지 법칙이 있다.1)의견 일치의 원리 1972년 노벨 경제학 상을 수상한 케네스·애로우”애로 사항을 정리”이다.2)독립성의 원리 A와 B사이의 선호도는 개인적으로나 사회적으로 A와 B와의 비교에 의존해야 한다.3)독재자는 존재하지 않는다.하나의 개인 의견이 항상 사회 결정에 반영되는 상황이 있어서는 안 된다.그러나 후보가 최소한 3명 있는 경우, 이 3가지 원칙을 충족시킬 경우에는 답이 없다고 한다.이 책은 문자가 2개의 3개의 연립 방정식이 해를 가진 경우는 어렵다며 이런 제한 점을 극복해야 할 경우, 조건을 추가함으로써 방정식을 푸는 방식으로 향하고 갈 수 있다고 말했다.수정을 통해서 발전이 가능한 모순을 일으키는 방법을 확률적으로 기록해야 한다.건전한 과학 시각과는 근사(approximation)과정이다.5강. 답이 있을 때 찾을 수 있는지 우리가 중매인이라고 가정한다.남성과 여성의 선호도가 있을 때 어떻게 매칭 되지?남자 여자12ABAA11BB22{1, B}{2, A}:1과 A이 서로 선호도가 높기 때문에 바람을 피울 수 있다.{1, A}{2, B}:서로 불균형을 할 수 없으므로 안정되고 있다.이렇게 매칭의 원리는 찢어진 상대가 있어서는 안 된다.데빗·게일과 로이드·세프리ー은 이를 안정성의 법칙이라는, 서로에 대해서 선호를 가진 집단 간에 안정적 매칭을 찾는 알고리즘을 게일-샤프리ー·아르고 림 또는 잠복 수락 알고리즘이라고 부른다.1962년”대학 입학과 안정된 결혼”이란 논문으로 밝혀졌다.정리 1]전의 알고리즘을 돌리면 결국 모두가 약혼하게 된다.정리 2] 그렇게 모두 짝을 이루면 그 페어는 안정적이다.남자 여자 1234ABC DABBA 3422BDD2331CCAB1113DACC 42441round남자 1, 남자 4->(파랑 결혼)여자 A남자 2남자 3->(파랑 결혼)여자 B{1, A}{3, B}2 round남자 2, 남자 3->(파랑 결혼)여자 D{2, D}3 round남자 4->(파랑 결혼)여자 B{4, B}남자 3다시 구혼해야 한다.4round남자 3→(청순)여자 D커플 성공하지 않는다.5round남자 3→(결혼)여자 A{3, A}남자 1다시 구혼해야 한다.6round남자 1->(신혼 여성 B커플 성공하지 않는다.7round남자 1->(청각)여자 C<1, C}이 알고리즘은 n인 때 n^2라운드 확인하면 된다.그럼 이 방법의 효율적인 방법은 무엇인가?컴퓨터만이 답인가?그렇다면 여자에게 유리한지, 남자에게 유리한 것?위의 표를 이용한 알고리즘을 여성이 프로포즈하는 것을 바꿔도 같은 커플 매칭이 나온다. 그러나남자 여자 123 ABC 231BC A312CA B123이 경우 남자가 먼저 청혼한다면{1, A},{2, B}{3, C}그러나 여성이 먼저 청혼하자{2, A},{3, B}{1, C}과 전혀 다른 결과가 나온다.이 알고리즘에서도 또 다른 조건을 부여하고 룰을 보다 공평한 방향으로 수정할 수 있다.참고)예능 프로그램에서 커플 매칭으로 전형적으로 볼 상황 같다.아래 사진은 무한 도전 영동 대로 가요제 때 사진이다.이때, 가수와 코미디언을 매칭 시킬 때 이런 방식으로 매칭 됬다.이 경우 남성이 먼저 청혼한다면 {1,A}, {2,B}{3,C} 그러나 여성이 먼저 청혼하면 {2,A}, {3,B}{1,C}과는 전혀 다른 결과를 낳는다.이 알고리즘에서도 또 다른 조건을 부여해 규칙을 보다 공정한 방향으로 수정해 나갈 수 있다.참고) 예능 프로그램에서 커플 매칭으로 전형적으로 볼 수 있는 상황인 것 같다. 아래 사진은 무한도전 영동대로 가요제 때 사진이다. 이때 가수와 개그맨을 매칭할 때 이런 방식으로 매칭됐다.